Ejercicios de programación lineal

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Plantear el modelo, reconocer las variables y las restricciones en los siguientes enunciados:

  • Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

Solución:

Objetivo: Maximizar beneficio
Variables: x= Cantidad de lámparas L₁
y= Cantidad de lámparas L₂
Restricciones de Capacidad: 100 hora-manual al mes ó 6000 min-manual
80 hora-maquina al mes ó 4800 min-maquina
Restricciones de no negatividad x≥0, y≥0

Modelo

Objetivo Maximizar Beneficio
B
=
15x
+
10y


Sujeto a:

20x
+
30y
≤
6000



20x
+
10y
≤
4800



x


≥
0





y
≥
0
  • Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

Solución:

Objetivo: Maximizar beneficio
Variables: x= Cantidad de paquetes de 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos
y= Cantidad de paquetes de 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo
Restricciones de Entrada: 600 cuadernos
500 carpetas
400 bolígrafos
Restricciones de no negatividad x≥0, y≥0

Modelo

Objetivo Maximizar Beneficio
B
=
6.5x
+
7y


Sujeto a:
2x
+
3y
≤
600



x
+
y
≤
500



2x
+
y
≤
400



x


≥
0





y
≥
0
  • En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

Solución:

Objetivo: Minimizar costo
Variables: x= Cantidades de X con 1 unidad de A y 5 unidades de B
y= Cantidades de Y con 5 unidades de A y 1 unidad de B
Restricciones de Calidad: 15 Unidades de A
15 Unidades de B
Restricciones de no negatividad x≥0, y≥0

Modelo

Objetivo Maximizar Costo
C
=
10x
+
30y


Sujeto a:










x
+
5y
≥
15



5x
+
y
≥
15



x


≥
0





y
≥
0
  • Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

Solución:

Objetivo: Maximizar beneficio
Variables: x= Cantidad de pastillas grandes
y= Cantidad de pastillas pequeñas
Restricciones de Entrada: 600 gramos de fármaco
Restricciones de Mercado: Al menos 3 pastillas grandes
Pastillas pequeñas al menos el doble de las grandes
Restricciones de no negatividad x≥0, y≥0

Modelo

Objetivo Maximizar Beneficio
B
=
2x
+
y


Sujeto a:










40x
+
30y
≤
600



-2x
+
y
≥
0



x


≥
3



x


≥
0





y
≥
0
  • Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

Solución:

Objetivo: Maximizar ganancia
Variables: x= Cantidad de lotes de la Oferta A con 1 camisa y 1 pantalón
y= Cantidad de lotes de la Oferta B con 3 camisas y 1 pantalón
Restricciones de Entrada: 200 camisas
100 pantalones
Restricciones de Mercado: 20 lotes de la Oferta A
10 lotes de la Oferta B
Restricciones de no negatividad x≥0, y≥0

Modelo

Objetivo Maximizar Beneficio
B
=
30x
+
50y


Sujeto a:










x
+
3y
≤
200



x
+
y
≥
100



x


≥
20





y
≥
10



x


≥
0
y
≥
0

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