Ejercicios de programación lineal

• Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L₁ y L₂. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L₁ y de 30 minutos para el L₂; y un trabajo de máquina de 20 minutos para L₁ y de 10 minutos para L₂. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L₁ y L₂, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

Solución:

Objetivo:	Maximizar beneficio
Variables:	x= Cantidad de lámparas L₁
	y= Cantidad de lámparas L₂
Restricciones de Capacidad:		100 hora-manual al mes ó 6000 min-manual
		80 hora-maquina al mes ó 4800 min-maquina
Restricciones de no negatividad			x≥0, y≥0

Modelo

Objetivo Maximizar Beneficio	B	=	15x	+	10y
Sujeto a:
			20x	+	30y	≤	6000
			20x	+	10y	≤	4800
			x			≥	0
					y	≥	0

La línea roja y azul representan las ecuaciones 20x+30y=6000 y 20x+10y=4800, respectivamente.

Mientras tanto, el área de color morado representa el área de soluciones factibles, es decir, soluciones que satisfacen las restricciones del problema.

La solución óptima se encuentra en alguno de los vértices del área de puntos factibles, dichos puntos son:

x	y
0	200
240	0

Y el punto donde las dos rectas se intersecan, es decir, el punto donde:

1. -6000=20x+10y-4800

La solución se puede obtener planteando el sistema de ecuaciones:

20x	+30y	=6000	Ecuación (1)
20x	+10y	=4800	Ecuación (2)

Dicho sistema de ecuaciones se puede resolver por el método de reducción, multiplicando por -1 la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones.

20x	+30y	= 6000	Ecuación (1)
-20x	-10y	=-4800	Ecuación (2)
0	20y	= 1200

Despejando y, se obtiene que y=60, despejando x de cualquier ecuación x es igual a 210

El punto donde x=0 y y=0 carece de sentido para el ejercicio, por lo que no es considerado.

Las parejas de datos (x,y) son reemplazados en la función objetivo, de modo que:

B(0,200)	=	15*0	+	10*200	=	2000€
B(240,0)	=	15*240	+	10*0	=	3600€
B(210,60)	=	15*210	+	10*60	=	3750€

De acuerdo a lo anterior, el máximo beneficio se obtiene con la producción de 210 unidades de lámpara modelo L₁ y 60 unidades de lámpara modelo L₂, generando un beneficio de 3750€.

• Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

Solución:

Objetivo:	Maximizar beneficio
Variables:	x= Cantidad de paquetes de 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos
	y= Cantidad de paquetes de 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo
Restricciones de Entrada:		600 cuadernos
		500 carpetas
		400 bolígrafos
Restricciones de no negatividad			x≥0, y≥0

Modelo

Objetivo Maximizar Beneficio	B	=	6.5x	+	7y
Sujeto a:
			2x	+	3y	≤	600
			x	+	y	≤	500
			2x	+	y	≤	400
			x			≥	0
					y	≥	0

La línea roja, azul y verde representan las ecuaciones 2x+3y=600, x+y=500, 2x+y=400, respectivamente.

Mientras tanto, el área de color morado representa el área de soluciones factibles, es decir, soluciones que satisfacen las restricciones del problema.

La solución óptima se encuentra en alguno de los vértices del área de puntos factibles, dichos puntos son:

x	y
0	200
200	0

Y el punto donde las dos rectas se intersecan, es decir, el punto donde:

1. -600=2x+y-400

La solución se puede obtener planteando el sistema de ecuaciones:

2x	+3y	=600	Ecuación (1)
2x	+y	=400	Ecuación (2)

Dicho sistema de ecuaciones se puede resolver por el método de reducción, multiplicando por -1 la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones.

2x	+3y	= 600	Ecuación (1)
-2x	-y	=-400	Ecuación (2)
0	+2y	= 200

Despejando y, se obtiene que y=100, despejando x de cualquier ecuación x es igual a 150

El punto donde x=0 y y=0 carece de sentido para el ejercicio, por lo que no es considerado.

Las parejas de datos (x,y) son reemplazados en la función objetivo, de modo que:

B(0,200)	=	6.5*0	+	7*200	=	1400€
B(200,0)	=	6.5*200	+	7*0	=	1300€
B(150,100)	=	6.5*150	+	7*100	=	1675€

De acuerdo a lo anterior, el máximo beneficio se obtiene con el empaque de 150 paquetes de 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos y 100 paquetes de 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo, generando un beneficio de 1675€

• En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

Solución:

Objetivo:	Minimizar costo
Variables:	x= Cantidades de X con 1 unidad de A y 5 unidades de B
	y= Cantidades de Y con 5 unidades de A y 1 unidad de B
Restricciones de Calidad:		15 Unidades de A
		15 Unidades de B
Restricciones de no negatividad			x≥0, y≥0

Modelo

Objetivo Minimizar Costo	C	=	10x	+	30y
Sujeto a:
			x	+	5y	≥	15
			5x	+	y	≥	15
			x			≥	0
					y	≥	0

La línea roja y azul representan las ecuaciones x+5y=15, 5x+y=15, respectivamente.

Mientras tanto, el área de color morado representa el área de soluciones factibles, es decir, soluciones que satisfacen las restricciones del problema.

La solución óptima se encuentra en alguno de los vértices del área de puntos factibles, dichos puntos son:

x	y
0	15
15	0

Y el punto donde las dos rectas se intersecan, es decir, el punto donde:

1. -15=5x+y-15

La solución se puede obtener planteando el sistema de ecuaciones:

x	+5y	=15	Ecuación (1)
5x	+  y	=15	Ecuación (2)

Dicho sistema de ecuaciones se puede resolver por el método de reducción, multiplicando por -5 la primera ecuación y sumando las dos ecuaciones.

-5x	-25y	= -75	Ecuación (1)
5x	+ y	=  15	Ecuación (2)
0	-24y	=  60

Despejando y, se obtiene que y=2.5, despejando x de cualquier ecuación x es igual a 2.5

El punto donde x=0 y y=0 carece de sentido para el ejercicio, por lo que no es considerado.

Las parejas de datos (x,y) son reemplazados en la función objetivo, de modo que:

C(0,15)	=	10*0	+	30*15	=	450€
C(15,0)	=	10*15	+	30*0	=	150€
C(2.5,2.5)	=	15*2.5	+	30*2.5	=	100€

De acuerdo a lo anterior, el mínimo costo se obtiene con la compra de 2.5 cantidades de X con 1 unidad de A y 5 unidades de B; y 2.5 cantidades de Y con 5 unidades de A y 1 unidad de B, es decir, con un costo de 100€.

• Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

Solución:

Objetivo:	Maximizar beneficio
Variables:	x= Cantidad de pastillas grandes
	y= Cantidad de pastillas pequeñas
Restricciones de Entrada:		600 gramos de fármaco
Restricciones de Mercado:		Al menos 3 pastillas grandes
		Pastillas pequeñas al menos el doble de las grandes
Restricciones de no negatividad			x≥0, y≥0

Modelo

Objetivo Maximizar Beneficio	B	=	2x	+	y
Sujeto a:
			40x	+	30y	≤	600
			-2x	+	y	≥	0
			x			≥	3
			x			≥	0
					y	≥	0

La línea roja, azul y verde representan las ecuaciones 40x+30y=600, -2x+y=0 y x=3, respectivamente.

Mientras tanto, el área de color morado representa el área de soluciones factibles, es decir, soluciones que satisfacen las restricciones del problema.

La solución óptima se encuentra en alguno de los vértices del área de puntos factibles, dichos puntos son los que se encuentran en las intersecciones de:

40x+30y=600 y x=3	(Intersección 1)
-2x+y=0 y x=3	(Intersección 2)
40x+30y=600 y -2x+y=0	(Intersección 3)

Se puede despejar “y” fácilmente de la primera y segunda intersección, obteniendo las parejas de datos:

x	y
3	16
3	6

La tercera intersección se puede encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones:

40x	+30y	=600	Ecuación (1)
-2x	+y	=    0	Ecuación (2)

Dicho sistema de ecuaciones se puede resolver por el método de reducción, multiplicando por 20 la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones.

40x	+30y	= 600	Ecuación (1)
-40x	+20y	=     0	Ecuación (2)
0	+50y	= 600

Despejando y, se obtiene que y=12, despejando x de cualquier ecuación x es igual a 6

El punto donde x=0 y y=0 carece de sentido para el ejercicio, por lo que no es considerado.

Las parejas de datos (x,y) son reemplazados en la función objetivo, de modo que:

B(3,16)	=	2*3	+	16	=	22€
B(3,6)	=	2*3	+	6	=	12€
B(6,15)	=	2*6	+	12	=	24€

De acuerdo a lo anterior, el máximo beneficio se obtiene con la elaboración de 6 pastillas grandes y 12 pastillas pequeñas.

• Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

Solución:

Objetivo:	Maximizar ganancia
Variables:	x= Cantidad de lotes de la Oferta A con 1 camisa y 1 pantalón
	y= Cantidad de lotes de la Oferta B con 3 camisas y 1 pantalón
Restricciones de Entrada:		200 camisas
		100 pantalones
Restricciones de Mercado:		Al menos 20 lotes de la Oferta A
		Al menos 10 lotes de la Oferta B
Restricciones de no negatividad			x≥0, y≥0

Modelo

Objetivo Maximizar Ganancia	G	=	30x	+	50y
Sujeto a:
			x	+	3y	≤	200
			x	+	y	≤	100
			x			≥	20
					y	≥	10
			x			≥	0
					y	≥	0

La línea roja, azul, verde y morado representan las ecuaciones x+3y=200, x+y=100, x=20 y y=10, respectivamente.

Mientras tanto, el área de color morado representa el área de soluciones factibles, es decir, soluciones que satisfacen las restricciones del problema.

Para hallar la solución óptima se encuentra en alguno de los vértices del área de puntos factibles, dichos puntos son los que se encuentran en las intersecciones de:

x+3y=200 y x=20	(Intersección 1)
x+y=100 y y=10	(Intersección 2)
x=20 y y=10	(Intersección 3)
x+3y=200 y x+y=100	(Intersección 4)

Se puede despejar parejas (x,y) fácilmente de la primera, segunda y tercera intersección, obteniendo las parejas de datos:

x	y
20	60
90	10
20	10

La cuarta intersección se puede encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones:

x	+3y	=200	Ecuación (1)
x	+y	=100	Ecuación (2)

Dicho sistema de ecuaciones se puede resolver por el método de reducción, multiplicando por -1 la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones.

x	+3y	= 200	Ecuación (1)
-x	-y	=-100	Ecuación (2)
0	+2y	= 100

Despejando y, se obtiene que y=50, despejando x de cualquier ecuación x es igual a 50

El punto donde x=0 y y=0 carece de sentido para el ejercicio, por lo que no es considerado.

Las parejas de datos (x,y) son reemplazados en la función objetivo, de modo que:

G(20,60)	=	30*20	+	50*60	=	1100€
G(90,10)	=	30*90	+	50*10	=	3200€
G(20,10)	=	30*20	+	50*10	=	3600€
G(50,50)		30*50	+	50*50	=	4000€

De acuerdo a lo anterior, el máximo beneficio se obtiene con la venta de 50 lotes de A y 50 lotes de B, generando ganancias de 4000€